Na przełomie XIX/ XX wieku rodziła się nowoczesna teoria mnogości. Pretendowała do tytułu wiodącej gałęzi matematyki, z której ożywcze soki miały zasilać inne działy matematyczne i inne nauki. Głównym i obecnie wielce ceninym prekursorem był Georg Cantor – jego metoda porównywania zbiorów z nieskończoną ilością elementów wykazywała niezwykłe własności tych zbiorów wtedy, gdy wykazywał równoliczności takich zbiorów jak liczb naturalnych z wymiernymi, czy ilości punktów na odcinku z iloscią punktów na płaszczyźnie. Wzbudzało to entuzjazm tych, którzy dostrzegali nowe horyzonty, dotychczas niezbadane, z olbrzymim potencjałem rozwojowym, lecz równoczesnie olbrzymi sceptycyzm u wielu tradycyjnych matematyków i do dziś (nieliczny) nurt konstruktywistów, czy intuicjonistów nie podziela poglądów teoriomnogościowców na egzystencję zbiorów nieprzeliczalnych, czyli o większej ilości elementów, niż liczność zbioru liczb naturalnych – tym bardziej, że przedstawione dowody są dowodami nie wprost (łac- reductio ad absurdum – doprowadzenie do absurdu po przyjęciu tezy przeciwnej do założonej), czyli takimi, które wykazują, że pewne elementy rzeczywistości powinny istnieć, bo gdyby nie istniały, to prowadziłoby to do sprzeczności. Wykazanie istnienia tym sposobem owych tajemniczych obiektów jednak nie oznacza, że Cantor i kontynuatorzy potrafią wskazać choć jeden z nich. Obiekty te nazywają nienazywalnymi, nieopisywalnymi, niemożliwymi do skonstruowania dostępnymi ludziom środkami, ponieważ w 1905 roku Jules Richard pokazał listę uporządkowanych wszystkich tekstów mogących potencjalnie nazwać wszelkie obiekty, zaś zaproponowana przez Cantora metoda diagonalna, choć sama znalazła się na owej liście, to jednak wymagała do stworzenia nowego obiektu – w tym przypadku nowej liczby rzeczywistej – drugiego niezbędnego członu w postaci pełnej listy liczb rzeczywistych, a to wydawało sie niewykonalne, między innymi dlatego, że nikt nie wiedział, jak ją skonstruować, jeśli miałaby zawierać takie liczby rzeczywiste, których nie sposób opisać, bo powstają metodą diagonalną zawierającą potencjalnie liczby rzeczywiste nieopisywalne. Znacznie później Turing pokazał, że liczby te są także nieobliczalne, bo nawet mając przepis na ich tworzenie nie sposób ich obliczyć, gdyż każdy komputer szybko utknie podczas próby ich wyliczenia wg tego algorytmu.
Wcześniej jednak, bo w 1901 r, po odkryciu antynomii Russella, czyli sprzeczności, w tworzonej teorii mnogości przez Cantora pojawiły się inne rysy: -nie wszystkie obiekty matematyczne można było zbierać w zbiory stosując dowolny predykat mający przesądzać o przynależności do zbioru. Ten wczesny etap nazwano ” naiwną teorią zbiorów”, skoro doprowadzał do sprzeczności, ale ponieważ nowy kierunek w matematyce rozbudził wielki nadzieje, pracowano nad zestawem aksjomatów, których stosowanie podczas tworzenia zbiorów miało zabezpieczać przed groźnymi dla matematyki antynomiami. I takie zestawy opracowano. Powszechnie dziś stosowanymi są ZF i ZFC, a matematycy starają się wykorzystywać ich jak najmniejszą ilość, gdyż aksjomaty to rzeczy przyjete na wiarę – bez dowodu. Najważniejszym z nich, bo tym, który ma właśnie zapobiegać antynomiom jest AKSJOMAT SPECYFIKACJI:
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_schema_of_specification
zwany też inaczej: aksjomat podzbioru, aksjomat odrywania itp, a będący w istocie całym zespołem aksjomatów.
Zdefinujmy na bazie tego aksjomatu listę podzbiorów f:
f:ℕ∋n→{x∈ℕ:φn(x)}∈P(ℕ), gdzie φn– formuła dla x w języku teorii mnogości
i określmy listę predykatów mających za zadanie wygenerowanie kolejnych podzbiorów ℕ na liście f:
φ1:= x∉ℕ
φ2:= x∉{6,7,8}
φ3:= x∈f(2), f jest dowolną funkcją f: ℕ→P(ℕ)
φ4:= x∈f(x), f jest dowolną funkcją f: ℕ→P(ℕ)
φ5:= x∉f(x), f jest dowolną funkcją f: ℕ→P(ℕ)
φi:= x=n, dla i>5
———————————–koniec definicji predykatów ——-
Zbadajmy teraz obrazy tworzonej funkcji dla kilku pierwszych jej wyrazów wykorzystując jednoznaczność x-funkcji charakterystycznej zbioru, jako kryterium kwalifikacyjne poprawności definicji:
f(1)={x∈ℕ:φ1(x)}={x∈ℕ:x∉ℕ}={}= Φ ≝Zbiór pusty. x=00(0)…
f(2)={x∈ℕ:φ2(x)}={x∈ℕ:x∈f(2)}=ℕ\{6,7,8}={1,2,3,4,5,9,10,11,12,13,14,15,16,…}. i x=1111100011(1)…
f(3)={x∈ℕ:φ3(x)}={x∈ℕ:x∈f(2)}={x∈ℕ:x∉{6,7,8}}=ℕ\{6,7,8}={1,2,3,4,5,9,10,11,12,13,14,15,16,…}. i x=1111100011(1)…
f(4)={x∈ℕ:φ4(x)}={x∈ℕ:x∈f(x)} Krok po kroku sprawdzamy elementy zbioru B’ zdefiniowanego formułą {x∈ℕ:x∈f(x)}
1∉f(1)=Φ⇒ f(4)={1………………………⇒1∉B’ x=0…
2∈f(2)=ℕ{6,7,8}⇒ f(4)}) ={2, …………..⇒2∈B’ x=01…
3∈f(3)={x∈ℕ:x∈f(2)}⇒ f(4) ={2,3,…….⇒3∈B’ x=011…
Ponieważ bezpośrednio formuła nie wyznacza przynależności 4 do B’,
sprawdźmy obydwa warianty czyniąc odpowiednie założenia: Z1: 4∈f(4) i Z2: 4∉f(4)
Z1: 4∈f(4)={x∈ℕ:x∈f(x)}⇒{4∈ℕ:4∈f(4)}={2,3,4….⇒ 4∈B’ x=0111…
co oznacza, że założenie spełnia formułę {x∈ℕ:x∈f(x)}, a przy przeciwnym założeniu:
Z2: 4∉f(4)={x∈ℕ:x∈f(x)} ⇒{4∈ℕ:4∉f(4)} ={2,3,4,….⇒4∉B’ x=0110…
co oznacza, że to założenie również spełnia formułę {x∈ℕ,x∈f(x)}
Ad5. Zastanówmy się nad negacją formuły {x∈ℕ:x∉f(x)}, jako tekstu kandydującego na pozycję 4 w ciągu f :
Sumując: 1∉B’ i 2∈B’ i 3∈B’ i (4∉B’lub 4∈B) i na czwartą cyfrę ciągu x pasuje zarówno 0 i 1 ⇒ ¬({x∈ℕ:x∈f(x)} =B’), czyli formuła {x∈ℕ:x∈f(x)} nie definiuje jednoznacznie zbioru i nie może być umieszczona w ciągu f. Formuła ta “definiuje” dwa zbiory: jeden złożony z elementów B’1={2,3,5,6,7,8,9…} i x=011011(1)…, a drugi B’2={2,3,4,5,6,7,…} z x=011111(1)… i to ma być jednoznaczna wartość funkcji dla argumentu n=4. Ponieważ na liście f mieliśmy umieszczać podzbiory ℕ, a nie formuły, które teoretycznie, wg aksjomatu odrywania, mają definiować zbiory, to formułę tę musimy odrzucić z listy: nie umieszczać jej na liście podzbiorów f, a umiescić na nowej liście f’ – liście formuł zgodnych z Aksjomatem Specyfikacji, ale nie generujacych podzbioru ℕ na tworzonej liście f.
Rozpatrując następny predykat na 4 miejsce na liście f zauważamy:
¬{x∈ℕ:x∉f(x)}={x∈ℕ:x∈f(x)} (Ad4) miała definiować zbiór B’=ℕ∖B, lecz nie definiowała jednoznacznie zbioru dla tej funkcji f, zatem mamy prawo twierdzić, że:
¬({x∈ℕ:x∉f(x)}=B∈P(ℕ)), bo {x∈ℕ:x∉f(x)} jest zbiorem B ⇔{x∈ℕ:x∈f(x)} jest zbiorem B’
lecz możemy to sprawdzić przy pomocy funkcji charakterystycznej:
1∉f(1)=Φ⇒{1∈ℕ:1∉f(1)} ={1,…………………….. ⇒1∈B≡f(4) x=1…
2∈f(2)=ℕ\{6,7,8}⇒{2∈ℕ::2∉f(2)} ={1,……… ⇒2∉B≡f(4) x=10…
3∈f(3)=ℕ\{6,7,8}⇒{3∈ℕ :3∉f(3)} ={1,……… ⇒3∉B≡f(4) x=100…
4∈f(4)={x∈ℕ:x∉f(x)} ⇒{4∈ℕ:4∉f(4)}={1,….. ⇒4∉B≡f(4) x≠1000…
4∉f(4)={x∈ℕ:x∉f(x)} ⇒{4∈ℕ:4∉f(4)}={1,…..⇒4∈B≡f(4) x≠1001…
sumując: z powodu sprzeczności nie sposób określić czy 4 należy do B, czy nie należy (mimo, że 1∈B i 2,3∉B), ¬({x∈ℕ:x∉f(x)}=B), czyli formuła {x∈ℕ,x∉f(x)} nie definiuje żadnego podzbioru ℕ i nie może być umieszczona w ciągu f. Formuła nie definiuje żadnego zbioru, gdyż nie można wybrać nawet żadnego z wariantów : czy liczba 4 należy do definiowanego zbioru B, czy też nie należy – a wynika to także z formuły uzupełniajacej {x∈ℕ:x∈f(x)}, która “zajmowała oba dozwolone stany jednocześnie”. Zatem i ta formuła znajdzie się na liście f’, a na czwartą i następną pozycję kandydować będą formuły określane predykatem φi:= x=n, czyli pełnej formuły {x∈ℕ:x=n}=f(n) mającej definiować następne podzbiory:
f(4)={x∈ℕ:x=4}={4} i x=000100(0)…
f(5)={x∈ℕ:x=5}={5} i x=000010(0)…
………..
f(k)={x∈ℕ:x=k}={k} i x=###10(0)…, gdzie ###- oznacza (k-1) cyfr 0.
Nieskończona lista podzbiorów f została dobrze określona przez wymienienie wszystkich jej elementów, a dodatkowo stworzono listę f’, na której znalazły się formuły zgodne z Aksjomatem Podzbioru, ale w tym przypadku nie tworzące zbiorów.
Formuły {x∈ℕ:x∉f(x)} użyto w dowodzie Cantora jako definicji zbioru B, który to zbiór powinien istnieć dla dowolnego ciągu podzbiorów, a tymczasem, jak pokazuję powyżej, już dla prostego ciągu, formuła ta, z powodów autoreferencyjnych, takiego zbioru nie definiuje dla rozpatrywanego ciągu, jak również nie definiuje zbioru formuła uzupełniająca {x∈ℕ:x∈f(x)} i obie muszą zostać odrzucone z list f z powodu ich autoreferencyjności.
Także inne zapisy tekstowe obiektów będących podzbiorami liczb naturalnych jak {2,5,8}, {7}, czy {n∈ℕ:n=k3 i k∈ℕ} nie są tymi podzbiorami i nie pomoże tu także funkcja charakterystyczna. Jesteśmy zdani na zapisy tekstowe matematycznych obiektów rzeczywistych, które znakomicie mogą przybliżyć nam ich pojmowanie – jedne łatwiej, inne nieco gorzej, ale nie potrafimy się bez nich obejść. A jeśli tak, to najprościej badać te właśnie teksty – porządkować je, przekształcać itp. – zachowując jednak przy tym baczną uwagę na ich odpowiedniki w idealnym świecie obiektów matematycznych, bo wiele tekstów takich odpowiedników mieć nie będzie, jak „dziewięciościan foremny” i formuła:
{x∈ℕ:x∉f(x)} ,
która nie zawsze definiuje zbiór B, zatem nie może być elementem P(ℕ) ani wartością funkcji f i to z tej przyczyny powstaje sprzeczność w dowodzie Cantora, a niekoniecznie z tego że funkcja ta nie może być suriekcją.
WNIOSKI
- Narzucającym się wnioskiem jest wprowadzenie ograniczalności stosowania Aksjomatu Specyfikacji o formuły autoreferencyjne, bo jak widać sam zakaz stosowania w tych formułach symbolu B (jako symbolu definiowanego zbioru) jest niewystarczający.
- Dowód Cantora o większej mocy zbioru potęgowego należy uznać za wadliwy, skoro domyślnie zakładał egzystencję zbioru B∈P(ℕ) zdefiniowanego przez {x∈ℕ:x∉f(x)} dla każdej funkcji f:ℕ→P(ℕ). Pokazałem wyżej, że istnieje taka funkcja f, dla której formuła Cantora nie generuje zbioru.
Nieskończoność
Długo posiadała atrybuty niedostępnej, boskiej wielkości. Wielu myślicieli starało się jej zrozumienie przybliżyć, ale dopiero Cantor nie tylko ją osiągnął, przeliczył różne jej zbiory, ale dodatkowo starał się ją przekroczyć – niczym metaforyczny średniowieczny podróżnik docierający na skraj horyzontu z obrazu nieznanego autora a opublikowanego w 1888r przez C. Flammariona i wystawiwszy głowę za dostępną innym śmiertelnikom sferę niebieską podziwia jej dalsze doskonałe konstrukcje.
I tak, jak ów wędrowiec, Cantor przekraczając myślowo ową wyimaginowaną granicę nieskończoności widzi nowe perspektywy, następne nieskończoności, większe od tej przekroczonej i walcząc z nieprzychylnością współczesnych mu tradycjonalistów (miedzy innymi szkołą jego promotora prof. Kroneckera), ale od innych uzyskując poparcie dla nowatorskich idei, tworzy całą arytmetykę w postaci skali alefów owych wielkości ponadnieskończonych. Pierwszym problemem postawionym przez Hilberta na przełomie XIX i XX w. była Hipoteza Continuum (nie istnieje zbiór o mocy pośredniej pomiędzy mocą zbioru liczb całkowitych i liczb rzeczywistych), która później, w 1963r doczekała się statusu niezależności od przyjętej aksjomatyki teorii mnogości, bez możliwości rozstrzygnięcia.
Do dziś.
Pokazuję , że dowody Cantora bazujące na tym samym pomyśle szukania elementu nie będącego sobą oraz coraz większe nieskończoności, są tak samo poronione, jak owo przebijanie głową sklepienia. Choć kilka innych jego pomysłów było genialnych: ustalenie wzajemnego przyporządkowania do liczb naturalnych wszystkich liczb wymiernych, czy to, że zbiór nieskończony to taki, który ma tyle samo elementów, co on sam bez skończonej, dowolnie dużej, ilości elementów.
Czas wyjść z tej choroby. Czas przywrócić nieskończoności jej jedyną nieprzekraczalną wielkość. Wielkość niosącą w sobie więcej obiektów, niż na początku można było przypuszczać, dlatego, że ustanowienie odwzorowania jeden-do-jednego pomiędzy liczbami naturalnymi a wszystkimi tekstami definiującymi, opisującymi wszystkie rzeczywiste obiekty, wszystkie rzeczywistości i ich przeciwieństwa, odkrycia i wynalazki, fantazje – nawet te o istnieniu zbiorów nieprzeliczalnych i zwariowanych kardynałach są zawarte w przeliczalnym zbiorze wszystkich tekstów nad dostatecznie bogatym alfabetem.
Choć prawdę powiedziawszy, ten alfabet generujący taką masę wszystkich tekstów może składać się z tyko dwóch znaków: 0 i 1, dlatego, że w obecnej dobie cyfryzacji pliki tekstowe są zapisywane właśnie przy ich pomocy. Znaki te wystarczą także do przesyłania cyfrowo muzyki, obrazów, filmów w dowolnej rozdzielczości i całych transmisji telewizyjnych. I w tym zbiorze wszystkich tekstów zero-jedynkowych znajdują się wszystkie książki z całej ziemi, muzyka zapisana nutowo i cyfrowo w empetrójkach, fotki w jotpegach itd. I to w dodatku wszystkie dotąd wydane, jak i te przyszłe, które dopiero powstaną. Tak!, w zbiorze tych wszystkich tekstów są już umieszczone od powstania wszechświata wszystkie teksty, nawet te które powstaną w przyszłości, zostaną wynalezione, opisujące odkrycia, pokazujące przyszłe tragedie i zwycięstwa…
Ale nie musimy się martwić o to, że w związku z tym pozostała nam już tylko niejako rola odkrywców tych tekstów, że sami nic nowego nie wymyślimy, bo to człowiek dopiero nadaje im sens i życie, gdyż zdecydowana większość z nich to tylko bełkot walących w klawiaturę przysłowiowych małp, jeśli będziemy rozważać teksty pisane, albo szum, taki, jak dawniej obserwować można było na ekranach telewizyjnych po skończeniu nadawania w przypadku obrazów i fonii. Nawet wśród tekstów sprawiających wrażenie w miarę sensownych pojawiać się będą utwory grafomańskie, choć niekoniecznie napisane przez człowieka. I to właśnie od człowieka zależeć będzie nadanie im sensu, a tak się będzie dziać tylko wtedy, gdy nie będzie myślał, że ten owoc jego pracy już tam jest wśród tych innych tekstów, lecz wtedy, gdy nie zważając na nic, zajmie się pracą twórczą. Obecnie zalewani wprost jesteśmy tak dużą ilością informacji i to w dodatku nie zawsze prawdziwą, że wybór właściwych już stanowi spory problem, a automatyczne wyszukiwarki nie odróżniają fejków od faktów, zresztą większość ludzi również…
Nikt nie może powiedzieć, że pewnego tekstu nie wolno stworzyć, bo ustalono pewne reguły tworzenia tekstów, a ten badany im nie podlega– co najwyżej możemy go ocenić: sensowny czy bezsensowny, dobry czy zły czy taki sobie, prawdziwy czy fałszywy, zrozumiały czy bełkotliwy, przydatny czy też nie, itd.
Ponieważ można tekstem sformułować, jak należy konstruować jakiś ciąg tekstów, to ów tekst konstrukcyjny będzie na pewno połączony z tekstem diagonalnym w pewnym sumarycznym tekście i znajdzie się wśród innych tekstów kandydujących na wyrazy tworzonego ciągu i to powyżej pokazałem.
Stosując bardzo ogólne kryteria wyboru tekstów mających definiować np. podzbiory liczb naturalnych, czy liczby rzeczywiste, lub nawet zbieżny ciąg przedziałów, intuicyjnie jesteśmy pewni, że będą zawierać właśnie te wadliwe teksty Cantora, choć nie wiadomo, na jakiej pozycji, lecz ta niewiedza nie zmieni tego, że zawsze będą przypisane do pewnego indeksu i będą autoreferencyjne i powinny być usuwane. Takie ogólne sposoby selekcji znajdziecie w e-booku:
Jest już także wydany e-book po polsku: https://www.e-bookowo.pl/nauka/nieskonczonosc-koniec-alefa-jeden.html, w którym poszerzyłem nieco zakres o formuły uzupełniające do wszystkich typów metody diagonalnej.
Na sympozjum ICAAMM 2019 w Stambule prezentowałem poster zatytułowany “Constructions of numerical sequences not subject to the Diagonal Cantor method”.
W tym krótkim eseju rozszerzyłem zakres rozważań o funkcje charakterystyczne zbiorów, pozbyłem się niejednoznaczności i uprościłem rozumowanie, a artystyczną wizję mozecie zobaczyć na YT:
Do tej pory specjaliści teorii mnogości nie mieli zastrzeżeń co do poprawności opisu metody diagonalnej – sformułowanej w metajęzyku i wierzyli, że tą metodą zawsze będą generować nowe obiekty dla każdej sekwencji odpowiedniego typu. Wytworzone tym samym metajęzykiem struktury ciągów, o których mowa powyżej, świadczą o wadliwości tej metody i istnieniu ciągów, które jej nie podlegają, co z kolei pokazuje, że cały gmach Katedry Teorii Mnogości razem z Skalą Alefów i wyimaginowaną Continuum Hypothesis, stał na glinianych nogach egzystencji niepoliczalnych zestawów.
Skoro wolno nam wyznawać naszą wiarę, nie zabronię nikomu wierzyć, że mimo wszystko metodą diagonalną można zawsze tworzyć nowe przedmioty w nieobliczalnej liczbie, a zatem istnieją dla wyznawców tej wiary niezliczone zbiory i całe rodziny liczb kardynalnych.
Podobnie jak w przypadku wolności słowa, zwolennicy idei Cantora mogą oczywiście nadal tworzyć swoje prace, w które naprawdę wkładają dużo wysiłku intelektualnego, ale ja sam odłożę je na półkę z innymi baśniami i opowieściami fantasy o jednorożcach, smokach, elfach i podróżach z prędkością ponadświetlną poza granice wszechświata i pod horyzontem zdarzeń.