Linki:
https://en.wikipedia.org/wiki/Null_set
https://pl.wikipedia.org/wiki/Zbiór_miary_zero
pokazują, jak bardzo nieważny jest podzbiór przeliczalny zbioru ℝ. Nazywa się go zaniedbywalnym wobec wszystkich pozostałych elementów z ℝ, które to elementy dopiero tworzą zbiór gęsty i mierzalny innej miary niż zero.
Ponieważ w częsci II pokazaliśmy, że cały zbiór ℝ jest przeliczalny i wszystkie liczby rzeczywiste można ustawić na jednej liście a w dodatku każda umieszczona liczba rzeczywista jest zdefiniowana nieskończoną ilość razy, to w myśl definicji zbioru zaniedbywalnego=miary zero jest on właśnie tej miary.
Prześledźmy, jak działa to przykrywanie liczb znajdujących się na osi liczbowej na przykładzie liczb wymiernych z odcinka (0,1) odcinkami: pierwszy o długości 1/4 a każdy następny jest o połowę mniejszy od poprzedniego. Suma tych wszystkich odcinków, gdyby ustawione były jeden za drugim wynosi 1/2, czyli co najmniej połowa odcinka (0,1) pozostanie nieprzykryta. Liczby wymierne z tego przedziału możemy uporządkować w następujący sposób: rozpoczniemy od 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 1/6, 5/6, … i dalej dla zwiekszających się kolejno mianowników m wypisujemy wszystkie ułamki o licznikach od 1 do (m-1) z pominięciem ułamków skracalnych. Czy potrafimy znaleźć choć jeden odcinek (a,b), który nie miałby części wspólnej z odcinkami przykrywającymi liczby wymierne z listy? Jak pokazaliśmy wyżej, w każdym takim przedziale (L1,L2) mieści się nieskończona ilość liczb wymiernych, a każda z nich jest przecież przykryta jakimś niepustym odcinkiem. Trochę dziwne, prawda? To gdzie ta pusta przestrzeń dla liczb niewymiernych? Czy takie właśnie myślenie wraz z wiarą, że liczb niewymiernych jest nieprzeliczalna ilość doprowadziło do paradoksalnego wniosku, że to punkty liczb niewymiernych wypełniają dziury?
Punkty prezentujące liczby są bezwymiarowe z definicji. Poprzez przykrywanie ich odcinkami nadajemy im pewną grubość – nie możemy nadać wszystkim jednakowej grubości, choćby nawet najmniejszej, bo ta grubość pomnożona przez nieskończoność dałaby również nieskończoność. Doświadczenie zdobyte na arytmetyce skończonej i rozszerzone o indukcyjnie pojmowane zbiory z nieskończoną ilością elementów w rodzaju liczb naturalnych pozwoliło na stworzenie modelu pokrycia nieskończonej ilości elementów ze zbioru liczb wymiernych nieskończoną ilością odcinków, ale o sumie skończonej – natomiast takiego doświadczenia nie było (i nadal nie ma!) w przypadku domniemanych zbiorów o większej ilości elementów, niż zawiera zbiór liczb naturalnych. Domyślnie zakladano, że zero pomnożone przez “ponadnieskończoność” może dać wielkość różną od zera?
Na różne sposoby wykazaliśmy, że Cantor nie dał podstaw do wykazania egzystencji zbiorów nieskończonych o większej mocy niż posiada zbiór liczb naturalnych i zbiór ℝ liczb rzeczywistych jest również zbiorem przeliczalnym.
O tym, jak pojemna jest nieskończoność świadczy nie tylko fakt, że w zbiorze wszystkich tekstów, utworzonym już w 1905 roku przez Julesa Richarda, znajdują się teksty definiujące liczby rzeczywiste, podzbiory liczb naturalnych, wszystkie dowody matematyczne, prace naukowe ze wszystkich dziedzin, wszystkie napisane książki, nakręcone filmy, fotografie, utwory muzyczne w różnych wykonaniach i aranżacjach i to wszystko zarówno istniejace dotychczas, jak i to, co zostanie dopiero wymyślone – oprócz oczywiście wszelkich bzdur również tam zawartych.
A ponieważ jesteśmy przy mierze Lebesgue’a zróbmy jeszcze jeden eksperyment.
Liczby ( nieważne, czy rzeczywiste, czy wymierne – bo i tak oba zbiory są przeliczalne) z odcinka (0,1) przykrywamy malejącymi kołami o średnicach odcinków, jak wskazaliśmy wyżej. Przesuwamy największy, by dotknął 1/2 z lewej strony, następny pod względem wielkości umieszczamy stycznie z prawej strony i czynność powtarzamy. W każdym kole zawarta jest nieskończona ilość liczb i tych kół jest również nieskończona ilość.
Wyjmujemy wszystkie liczby z osi liczbowej , bo przecież jest im tam bardzo ciasno – tłoczą się biedne, że nawet odetchnąć głębiej nie mogą, by sąsiada nie zachuchać i po kolei (kolejność z listy) wkładamy do kółek w samym środku. No, teraz to się mogą czuć swobodnie, jak we własnym kółku. Czy jakaś liczba została bez przydziału? NIE!! To po co się bylo tak gnieść na tej osi liczbowej?