Dowód Cantora jest błędny. Czas wyjść z mgły przykrywającej mgłę.

Dostatecznie bogaty alfabet pozwala stworzyć przeliczalny zbiór T=wszystkich tekstów, zawierający wszystkie prace matematyczne, które jak wiemy, mogą nieraz zawierać bardzo wymyślne znaki (patrz inny blog i tabela podstawień TB). Wybór wśród nich wszystkich tekstów posiadających określoną cechę, jak np. definiowanie podzbiorów liczb naturalnych lub definiowanie liczb rzeczywistych jest bardzo trudny, ale zawsze możemy badać wybrane teksty pod kątem czy prawidłowo definiują interesujące nas obiekty. Dlatego na początek tworzonego ciągu f arbitralnie wstawię ciąg kilku tekstów ASAB=(T₁,T₂,T₃,T_4, T_5,T₆) zamiast pierwszych kilku cyfr, które nie definiują podzbiorów i które i tak zostaną odrzucone razem z innymi tekstami procedurą weryfikacyjną.

         A procedura weryfikacyjna VP polega na sprawdzeniu, czy jest możliwość wyszczególnienia dowolnej ilości elementów składowych definiowanych podzbiorów przez te teksty według schematu blokowego:

 i dopiero, jeśli to będzie możliwe, zostaną umieszczone w prawdziwym ciągu f tekstów T_r definiujących x_r -podzbiory ℕ, czyli

 f:ℕ∋r→T_r≝x_r∈P(ℕ).

Procedura VP polega na weryfikacji, czy teksty Tn prawidłowo definiują generowane elementy (liczby naturalne zawarte w podzbiorach, lub kolejne cyfry rozwinięcia binarnego liczb rzeczywistych).

Ponieważ zajmować się będziemy dalej podzbiorami ℕ, chcę zwrócić uwagę na pewne ich właściwości i notacje:

Podzbiory Liczb Naturalnych

         Rozbicie całego zbioru liczb naturalnych ℕ  na dwa podzbiory wzajemnie się dopełniające, czyli B i B’ można zrealizować i zapisać:

1. Poprzez zdefiniowanie jednego z tych podzbiorów np. B. Wtedy automatycznie zostanie wyznaczony B’ =podzbiór dopełniający składający się z tych elementów ℕ, które nie należą do B, czyli B’=ℕ∖B lub odwrotnie B= ℕ∖B’,
2. Rozbicie zbioru na dwa podzbiory można zobrazować „metodą sznurkową”, gdzie zbiór liczb naturalnych jest rozdzielony przy pomocy sznurka przechodzącego raz dołem dla liczb należących do zbioru B, a raz górą dla liczb do tego zbioru nienależących. Po naprężeniu sznurka zbiór ℕ zostaje rozbity na dwa uzupełniające się podzbiory:
3. Poprzez wyznaczenie funkcji charakterystycznej zbioru 1 lub x_B:ℕ→{0,1}               zdefiniowanej:                   lub:

Która dla danego zbioru przyporządkowuje nieskończony ciąg zerojedynkowy, jak na przykładzie zbioru ℕ∖{6,7,8}:

Zaś zbiór dopełniający scharakteryzowany jest wtedy również nieskończonym ciągiem o odwrotnych wartościach 0→1, 1→0 i w powyższym wypadku byłby to ciąg 000001110000000000…

Warto zauważyć, że jeśli definicja tekstowa ściśle określa taką funkcję charakterystyczną w postaci nieskończonego ciągu zerojedynkowego, to odwrotny proces jest praktycznie niemożliwy ze względu na ograniczone ludzkie możliwości, co pokazuje porównanie przykładów:

{n∈ℕ:n=(99k)! i k∈ℕ}  oraz {n∈ℕ:n=(99k)! i k∈ℕ i k<10000000000000}, gdzie analizując zapisy tekstowe łatwo możemy sobie wyobrazić te pojedyncze jedynki utopione w oceanie zer, zaś analizując ciągi samodzielnie bez pomocy dobrego komputera nie tylko być może nie zauważymy różnicy, ale dodatkowo trudno będzie odgadnąć regułę ich generowania.

Funkcja charakterystyczna zbioru w postaci tego ciągu zerojedynkowego jest nie tylko bardzo podobna do binarnego zapisu liczb rzeczywistych z przedziału (0,1), ale łatwo możemy dzięki ich podobieństwu definiować zbiory przy pomocy liczb rzeczywistych i odwrotnie liczby rzeczywiste przy pomocy zbiorów poprzez dodawanie lub usuwanie prefiksu w postaci zera z separatorem ułamkowym. Choć oczywiście i tak zawsze lepiej zawsze definiować obiekty skończonym tekstem, który pozwala generować dowolną ilość znaków w tym ciągu zerojedynkowym niż analizować cały nieskończony ciąg wymagający do tej analizy nieskończonego czasu.

Skonstruujmy ciąg f:

 f:ℕ∋r→T_r≝p_r∈P(ℕ),gdzie T_r-tekst definiujący p_r–podzbiór ℕ

w następujący sposób:

Ciąg wszystkich tekstów powstały nad dostatecznie bogatym alfabetem zawierający na początku sześć arbitralnie wybranych tekstów ASAB zostaje poddany weryfikacji przez VP i jeśli pomyślnie ją przejdzie zostaje umieszczony w ciągu f (według powyżej pokazanego schematu blokowego).

Procedura weryfikacyjna VP polega na sprawdzeniu, czy tekst mający definiować zbiór pozwala określić dowolną ilość elementów tego podzbioru oraz jego funkcji charakterystycznej x.

ASAB:                           

T₁:= Φ

T₂:= ℕ\{6,7,8}, gdzie ℕ oznacza zbiór liczb naturalnych

T₃:= {x∈ℕ:x∈f(2)}, gdzie ℕ oznacza zbiór liczb naturalnych, f jest funkcją f: ℕ→P(ℕ)

T₄:= {x∈ℕ:x∈f(x)}, gdzie ℕ oznacza zbiór liczb naturalnych, f jest funkcją f: ℕ→P(ℕ)

T₅:= {x∈ℕ:x∉f(x)}, gdzie ℕ oznacza zbiór liczb naturalnych, f jest funkcją f: ℕ→P(ℕ)

T₆:= Zbiór liczb naturalnych, dla którego funkcja charakterystyczna   jest identyczna z binarnym zapisem pierwiastka z dwóch z pominięciem przecinka.

  ———————————–koniec definicji ciągu f ——-

Sprawdźmy najpierw, ile spośród tych pierwszych sześciu tekstów, naprawdę definiuje podzbiory ℕ?

Ad1. Φ ≝Zbiór pusty.  VP(Φ)={} , x=00(0)…  Φ≝{}∈P(ℕ) ⇒

f(1)=Φ.

Ad2. Różnica zbiorów ℕ\{6,7,8}.  i    x=1111100011(1)…

 VP(T₂)=VP(ℕ\{6,7,8})={1,2,3,4,5,9,10,11,12,13,14,15,16,…}∈P(ℕ)⇒

f(2)=ℕ\{6,7,8}

Ad3. Formuła zgodna z Aksjomatem Podzbioru.

 f(2)= ℕ\{6,7,8} ⇒{x∈ℕ:x∈f(2)}={x∈ℕ,x∈(ℕ\{6,7,8})} i  x=111110001(1)…

VP(T₃)=VP({x∈ℕ:x∈f(2)})={1,2,3,4,5,9,10,11,12,13,14,15,16,…}∈P(ℕ)⇒

f(3)={x∈ℕ:x∈f(2)}

Ad4.Krok po kroku sprawdzamy elementy zbioru B’ (definiowanego przez Aksjomat Podzbioru): ???? VP({x∈ℕ:x∈f(x)}) ≟ B’

1∉f(1)=Φ⇒VP({1∈ℕ:1∈f(1)}) ={1………………………⇒1∉B’    x=0…

2∈f(2)=ℕ\{6,7,8}⇒VP({2∈ℕ:2∈f(2)}) ={2, …………..⇒2∈B’   x=01…

3∈f(3)={x∈ℕ:x∈f(2)}⇒VP({3∈ℕ:3∈f(2)}) ={2,3,…….⇒3∈B’    x=011…

Ponieważ bezpośrednio formuła nie wyznacza przynależności 4 do B’, sprawdźmy obydwa warianty czyniąc odpowiednie założenia: ? i ??

? 4∈f(4)={x∈ℕ:x∈f(x)}⇒VP({4∈ℕ:4∈f(4)})={2,3,4….⇒4∈B’    x=0111…

co oznacza, że założenie spełnia formułę {x∈ℕ:x∈f(x)}, a przy przeciwnym założeniu:

?? 4∉f(4)={x∈ℕ:x∈f(x)} ⇒VP({4∈ℕ:4∉f(4)}) ={2,3,4,….⇒4∉B’  x=0110… co oznacza, że to założenie również spełnia formułę {x∈ℕ,x∈f(x)}

 Sumując:  1∉B’ i 2∈B’ i 3∈B’ i 4∉B’∋4 i na czwartą cyfrę ciągu x pasuje zarówno 0 i 1 ⇒ ¬(VP({x∈ℕ:x∈f(x)}) =B’), czyli formuła {x∈ℕ:x∈f(x)} nie definiuje jednoznacznie zbioru i nie może być umieszczona w ciągu f.

Ad5. Zastanówmy się nad negacją formuły {x∈ℕ:x∉f(x)}, jako tekstu kandydującego na pozycję 4 w ciągu f :

¬{x∈ℕ:x∉f(x)}={x∈ℕ:x∈f(x)} (T₄) miała definiować zbiór B’=ℕ∖B, lecz nie definiowała jednoznacznie zbioru dla tej funkcji f, zatem mamy prawo twierdzić, że:

¬({x∈ℕ:x∉f(x)}=B∈P(ℕ))

lecz możemy to sprawdzić  przy pomocy procedury sprawdzającej VP i funkcji charakterystycznej:

1∉f(1)=Φ⇒VP({1∈ℕ:1∉f(1)}) ={1,………………… ⇒1∈B≡f(4)    x=1…

2∈f(2)=ℕ\{6,7,8}⇒VP({2∈ℕ::2∉f(2)}) ={1,……… ⇒2∉B≡f(4)    x=10…

3∈f(3)=ℕ\{6,7,8}⇒VP({3∈ℕ :3∉f(3)}) ={1,……… ⇒3∉B≡f(4)    x=100…

4∈f(4)={x∈ℕ:x∉f(x)} ⇒VP({4∈ℕ:4∉f(4)})={1,….. ⇒4∉B≡f(4)    x≠1000…

4∉f(4)={x∈ℕ:x∉f(x)} ⇒VP({4∈ℕ:4∉f(4)})={1,…..⇒4∈B≡f(4)     x≠1001…

sumując: z powodu sprzeczności nie sposób określić czy 4 należy do B, czy nie należy (mimo, że 1∈B i 2,3∉B), ¬(VP({x∈ℕ:x∉f(x)})=B), czyli formuła {x∈ℕ,x∉f(x)} nie definiuje zbioru i nie może być umieszczona w ciągu f.

Formuły {x∈ℕ:x∉f(x)} użyto w dowodzie Cantora jako definicji zbioru B, który to zbiór powinien istnieć dla dowolnego ciągu podzbiorów, a tymczasem, jak pokazuję powyżej, już dla prostego ciągu skończonego, formuła ta, z powodów autoreferencyjnych, takiego zbioru nie definiuje dla rozpatrywanego ciągu, jak również nie definiuje zbioru formuła uzupełniająca  {x∈ℕ:x∈f(x)} i obie muszą zostać odrzucone z powodu ich autoreferencyjności. Na pozycję r=4 do ciągu f kandyduje zatem tekst T₆:

Ad6. Pierwiastek z dwóch zapisany binarnie:

√2=1,0110101000001001111001100110011001011001100000111101…

       123456789₁₀¹¹₁₂¹³₁₄¹⁵₁₆^17…

Pod cyframi rozwinięcia binarnego wypisujemy kolejne liczby naturalne, a do tworzonego zbioru zabieramy tylko te z nich, które są sparowane z jedynkami zapisu binarnego:

VP(T₆)={1,3,4,6,8,14,17,18,19,20,23,24,27,28,31,32,35,37,38,41,42,…}

Jak widać zarówno procedura weryfikacyjna VP, jak i funkcja charakterystyczna x są dobrze określone, czyli wnioskujemy, że:

f(4)=T₆= Zbiór liczb naturalnych, dla którego funkcja charakterystyczna jest identyczna z binarnym zapisem pierwiastka z dwóch z pominięciem przecinka.

Do tych czterech powyższych tekstów funkcji f dołączone zostaną następne teksty definiujące podzbiory liczb naturalnych. Kandydatami na kolejne miejsca będą teksty będące w bijekcji z liczbami naturalnymi od 7 w górę i selekcja odbywać się będzie zgodnie ze schematem blokowym przedstawionym wyżej.

 Oczywiście wśród tych tekstów pojawią się powtórnie wszystkie teksty wyżej analizowane i to w dodatku nieskończoną ilość razy, co pokazuję w e-booku „ INFINITY: END of ALEPH ONE”, ale w tym eseju chciałem zwrócić uwagę na ważny element rozpatrywania zbioru potęgowego w postaci funkcji charakterystycznych zbiorów, które rozpatrywał także Cantor podczas formułowania swego dowodu o większej mocy zbioru potęgowego i które to także mi pomogły w znalezieniu błędu dowodu Cantora. A błąd ten polega na nieuwzględnieniu możliwości definiowania obiektów matematycznych tekstowo przy pomocy słów i znaków. Tymczasem nawet takie zapisy obiektów będących podzbiorami liczb naturalnych jak {2,5,8}, {7}, czy {n∈ℕ:n=k³ i k∈ℕ} nie są tymi podzbiorami i nie pomoże tu także funkcja charakterystyczna. Jesteśmy zdani na zapisy tekstowe matematycznych obiektów rzeczywistych, które znakomicie mogą przybliżyć nam ich pojmowanie – jedne łatwiej, inne nieco gorzej, ale nie potrafimy się bez nich obejść. A jeśli tak, to najprościej badać te właśnie teksty – porządkować je, przekształcać itp. – zachowując jednak przy tym baczną uwagę na ich odpowiedniki w idealnym świecie obiektów matematycznych, bo wiele tekstów takich odpowiedników mieć nie będzie, jak „dziewięciościan foremny” i formuła:

{x∈ℕ:x∉f(x)} ,

która nie definiuje zbioru B, zatem nie może być elementem P(ℕ) ani wartością funkcji f i to z tej przyczyny powstaje sprzeczność w dowodzie Cantora, a niekoniecznie z tego że funkcja ta nie może być suriekcją. Mogę śmiało rzucić wszystkim wyzwanie twierdząc, że na liście f znajdują się wszystkie podzbiory liczb naturalnych, a jeśli ktoś uważa inaczej, niech poda, jaki zbiór tam został pominięty lub w jaki sposób można go wygenerować.

WNIOSKI

1.    Narzucającym się wnioskiem jest wprowadzenie ograniczalności stosowania aksjomatu podzbioru o formuły autoreferencyjne, bo jak widać sam zakaz stosowania w tych formułach symbolu B (jako symbolu definiowanego zbioru) jest niewystarczający. 
2. Dowód Cantora o większej mocy zbioru potęgowego należy uznać za wadliwy, skoro domyślnie zakładał egzystencję zbioru B∈P(ℕ) zdefiniowanego przez {x∈ℕ:x∉f(x)} dla każdej funkcji f:ℕ→P(ℕ).

         CZYTELNIKU!: Jeśli myślisz, że powyższy ciąg f jest mały i ograniczony i na pewno znajdziesz sposób skonstruowania elementów podzbioru ℕ, lub sam podzbiór ℕ, który na pewno w tym ciągu nie może się znaleźć, lub po jego dodaniu w cudowny sposób formuła {x∈ℕ:x∉f(x)} zacznie poprawnie działać, to spróbuj ten swój tekst dodać jako T₆ do nowego ciągu ASAB1, i traktuj go, jako tekst wybrany przeze mnie z ogólnej puli wszystkich tekstów i sprawdź w procedurze sprawdzającej VP, czy formuła {x∈ℕ:x∉f(x)} przestanie być wadliwa i czy Twój tekst poprawnie wyznacza elementy podzbioru ℕ w procedurze sprawdzającej VP oraz czy Twój tekst zostanie umieszczony w nowym ciągu f. Jeśli tam się znajdzie, to pewno poprawnie zdefiniowałeś ten podzbiór, ale zwróć uwagę, że był on w przeliczalnej puli wszystkich tekstów, jeśli nie – to zastanów się czy na pewno ten tekst chciałeś mi przysłać, jako definiujący podzbiór ℕ (mimo, że i ten tekst był zawarty w zbiorze wszystkich tekstów).

                           &&&&&&&&&&&&&&&

W analogiczny sposób możemy utworzyć f ciąg liczb rzeczywistych zdefiniowanych tekstowo:

 f: ℕ∍r→T_r≡x_r∊(0,1)⊂ℝ powstały z wszystkich możliwych tekstów zawierających na początku kilka wybranych arbitralnie tekstów ASAB w wyniku weryfikacji VP polegającej na sprawdzeniu możliwości wypisywania kolejnych cyfr rozwinięcia binarnego liczb x_r definiowanych przez teksty T_n, z dowolnie dużą ilością znaków.

_gdzie T_{r- zweryfikowany przez VP tekst definiujący liczbę rzeczywistą} x_{r z przedziału (0,1)}

ASAB:

T₁:=     0,5

T₂:=     ¾

T₃:= utwórz zapis liczby rzeczywistej wybierając metodą przekątniową cyfry z rozwinięć binarnych liczb (zdefiniowanych tekstowo) w ciągu liczb rzeczywistych f

T_4:= utwórz zapis liczby rzeczywistej wybierając metodą przekątniową cyfry z rozwinięć binarnych liczb (zdefiniowanych tekstowo) w ciągu liczb rzeczywistych f _,  zamieniając podczas tworzenia cyfry znajdujące się po przecinku na przeciwne cyfry.

T₅:= tu wstaw swój pierwszy tekst

T₆:= tu wstaw swój drugi tekst

                                 VP(Ti)                         

ASAB(1)=T₁=0,5      0,1000000000…      f(1)=0,5

ASAB(2)=T₂=¾        0,1100000000…      f(2)= ¾

ASAB(3)=T₃              0,11?                     f₂(3)≠ T₃

Co tu wstawić zamiast pytajnika? Pasuje każda cyfra, czyli może być zarówno 0,110 jak i 0,111 a zatem ten tekst nie określa jednoznacznie liczby (nie wiadomo czy jest większa od 13/16=0,1101₂) i należy go skreślić:

                                       f (3)=            =0,11?

Tekst4 różni się od trzeciego końcową operacją, która powinna zmieniać cyfry już wygenerowanej liczby utworzonej z cyfr liczb w ciągu po przekątnej, ale ponieważ tej wcześniejszej nie można utworzyć, więc i dalsze działania jej nie poprawią, choć oczywiście dwie pierwsze cyfry byłyby jeszcze poprawnie określone: 0,00?

Tylko, że tym razem już nie potrafimy zamiast pytajnika ? wstawić żadnej cyfry!

                Na razie stworzyliśmy ciąg dwuwyrazowy tekstów definiujących liczby rzeczywiste wykorzystując arbitralnie wskazane przeze mnie teksty.

Jeśli ktoś ma zastrzeżenia do zaproponowanego tekstu metody przekątniowej Cantora, którą odrzuciłem i którą powyżej oznaczyłem kolorem zielonym w tekście 4 i zna inną wersję to może ją dodać na pozycję T₅ lub T₆, co nie zmieni jej braku kreatywności liczby rzeczywistej.

Powyższe rozumowanie pokazuje, że metoda diagonalna Cantora również tu zawodzi, nie generując liczb nawet w tak prostych przypadkach. Czyli nie dowodzi nieprzeliczalności liczb rzeczywistych.

                              *************

Uwaga: Do utworzonych powyżej ciągów można teraz zastosować metody Cantora tworzenia nowych obiektów (podzbiorów oraz liczb rzeczywistych) i nawet dołączyć te obiekty do tych ciągów, ale teksty je tworzące będą albo inne, niż wcześniej rozpatrywane i odrzucone, bo f≠ASAB, albo identyczne z odrzuconymi wcześniej i każda próba ponownego ich dołączenia doprowadzi do powtórnego stwierdzania ich wadliwości przez VP wskutek samoodniesienia.

      Nieskończoność

Długo posiadała atrybuty niedostępnej, boskiej wielkości. Wielu myślicieli starało się jej zrozumienie przybliżyć, ale dopiero Cantor nie tylko ją osiągnął, przeliczył różne jej zbiory, ale dodatkowo starał się ją przekroczyć – niczym metaforyczny średniowieczny podróżnik docierający na skraj horyzontu z obrazu nieznanego autora a opublikowanego w 1888r przez  C. Flammariona i wystawiwszy głowę za dostępną innym śmiertelnikom sferę niebieską podziwia jej dalsze doskonałe konstrukcje.

I tak, jak ów wędrowiec, Cantor przekraczając myślowo ową wyimaginowaną granicę nieskończoności widzi nowe perspektywy, następne nieskończoności, większe od tej przekroczonej i walcząc z nieprzychylnością współczesnych mu tradycjonalistów (miedzy innymi szkołą jego promotora prof. Kroneckera), ale od innych uzyskując poparcie dla nowatorskich idei, tworzy całą arytmetykę w postaci skali alefów owych wielkości ponadnieskończonych. Pierwszym problemem postawionym przez Hilberta na przełomie  XIX i XX w. była Hipoteza Continuum (nie istnieje zbiór o mocy pośredniej pomiędzy mocą zbioru liczb całkowitych i liczb rzeczywistych), która później, w 1963r doczekała się statusu niezależności od przyjętej aksjomatyki teorii mnogości, bez możliwości rozstrzygnięcia.

Do dziś.

Pokazuję , że dowody Cantora bazujące na tym samym pomyśle szukania elementu nie będącego sobą oraz coraz większe nieskończoności, są tak samo poronione, jak owo przebijanie głową sklepienia. Choć kilka innych jego pomysłów było genialnych: ustalenie wzajemnego przyporządkowania do liczb naturalnych wszystkich liczb wymiernych, czy to, że zbiór nieskończony to taki, który ma tyle samo elementów, co on sam bez skończonej, dowolnie dużej, ilości elementów.

Czas wyjść z tej choroby. Czas przywrócić nieskończoności jej jedyną nieprzekraczalną wielkość. Wielkość niosącą w sobie więcej obiektów, niż na początku można było przypuszczać, dlatego, że ustanowienie odwzorowania jeden-do-jednego pomiędzy liczbami naturalnymi a wszystkimi tekstami definiującymi, opisującymi wszystkie rzeczywiste obiekty, wszystkie rzeczywistości i ich przeciwieństwa, odkrycia i wynalazki,  fantazje – nawet te o istnieniu zbiorów nieprzeliczalnych i zwariowanych kardynałach są zawarte w przeliczalnym zbiorze wszystkich tekstów nad dostatecznie bogatym alfabetem.

Choć prawdę powiedziawszy, ten alfabet generujący taką masę wszystkich tekstów może składać się z tyko dwóch znaków: 0 i 1, dlatego, że w obecnej dobie cyfryzacji pliki tekstowe są zapisywane właśnie przy ich pomocy. Znaki te wystarczą także do przesyłania cyfrowo muzyki, obrazów, filmów w dowolnej rozdzielczości i całych transmisji telewizyjnych. I w tym zbiorze wszystkich tekstów zero-jedynkowych znajdują się wszystkie książki z całej ziemi, muzyka zapisana nutowo i cyfrowo w empetrójkach, fotki w jotpegach itd. I to w dodatku wszystkie dotąd wydane, jak i te przyszłe, które dopiero powstaną. Tak!, w zbiorze tych wszystkich tekstów są już umieszczone od powstania wszechświata wszystkie teksty, nawet te które powstaną w przyszłości, zostaną wynalezione, opisujące odkrycia, pokazujące przyszłe tragedie i zwycięstwa…

Ale nie musimy się martwić o to, że w związku z tym pozostała nam już tylko niejako rola odkrywców tych tekstów, że sami nic nowego nie wymyślimy, bo to człowiek dopiero nadaje im sens i życie, gdyż zdecydowana większość z nich to tylko bełkot walących w klawiaturę przysłowiowych małp, jeśli będziemy rozważać teksty pisane, albo szum, taki, jak dawniej obserwować można było na ekranach telewizyjnych po skończeniu nadawania w przypadku obrazów i fonii. Nawet wśród tekstów sprawiających wrażenie w miarę sensownych pojawiać się będą utwory grafomańskie, choć niekoniecznie napisane przez człowieka. I to właśnie od człowieka zależeć będzie nadanie im sensu, a tak się będzie dziać tylko wtedy, gdy nie będzie myślał, że ten owoc jego pracy już tam jest wśród tych innych tekstów, lecz wtedy, gdy nie zważając na nic, zajmie się pracą twórczą. Obecnie zalewani wprost jesteśmy tak dużą ilością informacji i to w dodatku nie zawsze prawdziwą, że wybór właściwych już stanowi spory problem, a automatyczne wyszukiwarki nie odróżniają fejków od faktów, zresztą większość ludzi również…

Nikt nie może powiedzieć, że pewnego tekstu nie wolno stworzyć, bo ustalono pewne reguły tworzenia tekstów, a ten badany im nie podlega– co najwyżej możemy go ocenić: sensowny czy bezsensowny, dobry czy zły czy taki sobie, prawdziwy czy fałszywy, zrozumiały czy bełkotliwy, przydatny czy też nie, itd.

Ponieważ można tekstem sformułować, jak należy konstruować jakiś ciąg tekstów, to ów tekst konstrukcyjny będzie na pewno połączony z tekstem diagonalnym w pewnym sumarycznym tekście i znajdzie się wśród innych tekstów kandydujących na wyrazy tworzonego ciągu i to powyżej pokazałem w ciągu ASAB jako propozycje wybranych tekstów do matematycznych ciągów f danego typu.

         Dlaczego zastosowałem powyżej Arbitralną Selekcję tekstów, a nie bardziej ogólny sposób wyselekcjonowania spośród wszystkich tekstów tylko tych, które definiują obiekty danego typu? Takie ogólne ciągi tekstów w sposób wręcz oczywisty zawierać będą te wadliwe teksty z pozycji 3 i 4, ale jest to selekcja bardziej intuicyjna i z formalnego punktu widzenia powstają duże trudności rozróżnienia wszystkich tych tekstów, które dobrze spełniają kryteria doboru i prawidłowo definiują dane obiekty od tych, które są zupełnie podobne do fake newsów. Dodatkowo często, zanim dotrzemy do tych z pozycji 3 i 4 określonych przy pomocy metajęzyka przez Cantora pewno napotkamy teksty, co do których możemy mieć wątpliwości, czy są prawidłowo napisane i ich ocena może być bardzo subiektywna, a to z kolei zmieniałoby kolejność występowania interesujących nas tekstów stworzonych przez Cantora zależną od interpretacji oceniającego a samo miejsce w szeregu staje się bliżej nieokreślone. Niemniej jednak, tak to już mamy z tym językiem opisowym – czyli tzw. metajęzykiem, że opisuje nie tylko rzeczy i obiekty istniejące naprawdę, ale także, stwarzając pozory prawdy, wierutne bzdury. A teksty Cantora połączone z konstrukcją odpowiednich ciągów są przecież zawarte w zbiorze wszystkich tekstów.

         Stosując bardzo ogólne kryteria wyboru tekstów mających definiować np. podzbiory liczb naturalnych, czy liczby rzeczywiste, lub nawet zbieżny ciąg przedziałów, intuicyjnie jesteśmy pewni, że będą zawierać właśnie te wadliwe teksty Cantora, choć nie wiadomo, na jakiej pozycji, lecz ta niewiedza nie zmieni tego, że zawsze będą przypisane do pewnego indeksu i będą autoreferencyjne i powinny być usuwane. Takie ogólne sposoby selekcji znajdziecie w e-booku:

   W tym e-booku (⤒) „INFINITY: END of ALEPH ONE”, dostępnym na Amazonie (po angielsku) oprócz wstępu beletrystycznego (math fantasy), stanowiącego wprowadzenie dla laików, rozprawiam się także z metodą diagonalną Cantora w różnych wersjach, w tym także ze zbieżnym przedziałowo zbiorem Cantora, dowodząc ich fałszywości, opierając się zresztą na podobnym schemacie blokowym selekcji tekstów, jak wyżej zaprezentowany.

Na sympozjum ICAAMM 2019 w Stambule prezentowałem poster zatytułowany “Constructions of numerical sequences not subject to the Diagonal Cantor method”.

          W tym krótkim eseju rozszerzyłem zakres rozważań o funkcje charakterystyczne zbiorów, pozbyłem się niejednoznaczności i uprościłem rozumowanie.

    Do tej pory specjaliści teorii mnogości nie mieli zastrzeżeń co do poprawności opisu metody diagonalnej – sformułowanej w metajęzyku i wierzyli, że tą metodą zawsze będą generować nowe obiekty dla każdej sekwencji odpowiedniego typu. Wytworzone tym samym metajęzykiem struktury ciągów, o których mowa powyżej, świadczą o wadliwości tej metody i istnieniu ciągów, które jej nie podlegają, co z kolei pokazuje, że cały gmach Katedry Teorii Mnogości razem z Skalą Alefów i wyimaginowaną Continuum Hypothesis, stał na glinianych nogach egzystencji niezliczonych zestawów.

    Skoro wolno nam wyznawać naszą wiarę, nie zabronię nikomu wierzyć, że mimo wszystko metodą diagonalną można zawsze tworzyć nowe przedmioty w nieobliczalnej liczbie, a zatem istnieją dla wyznawców tej wiary niezliczone zbiory i całe rodziny liczb kardynalnych. 

    Podobnie jak w przypadku wolności słowa, zwolennicy idei Cantora mogą oczywiście nadal tworzyć swoje prace, w które naprawdę wkładają dużo wysiłku intelektualnego, ale ja sam odłożę je na półkę z innymi baśniami i opowieściami fantasy o jednorożcach, smokach, elfach i podróżach z prędkością ponadświetlną poza granice wszechświata i pod horyzontem zdarzeń.