Dowód fałszywości twierdzenia Cantora

   Twierdzenie Cantora o większej mocy zbioru potęgowego zawiera dość ważny błąd. 

Georg Cantor w tym dowodzie zakłada na samym początku egzystencję zbioru B zdefiniowanego formułą:

{x∈ℕ:x∉f(x)}

    #######################################

   Twierdzę, że predykat: {x∈ℕ:x∉f(x)}

                         nie definiuje zbioru dla każdej funkcji  f: ℕ→P(ℕ)

     **************************************************

  gdzie ℕ – zbiór liczb naturalnych: 

udowodnię to na 3 sposoby:

1. (nie wprost):

Z: Załóżmy, że predykat definiuje zbiór B:

                        {n∈ℕ:n∉f(n)}=B

          B jest zbiorem <=> B’jest zbiorem,   gdzie B’=ℕ \ B

Utwórzmy funkcję stałą f3:ℕ∋n→B’ ,dla której to funkcji również musi być dobrze określony zbiór B’ zdefiniowany formułą:

{n∈ℕ:n∈f3(n)}=B’

Warto tu zwrócić uwagę, że gdyby definicja zbioru nie była autoreferencyjna, to zarówno zbiór B’ byłby dobrze określony, jak i powyższa funkcja f3, co możemy sprawdzić podstawiając definicje  zbioru liczb nieparzystych, kwadratów liczb naturalnych, czy jakąkolwiek inną definicję nieautoreferencyjną.

I okaże się wtedy, że z powodu wieloznaczności interpretacyjnej – powyższą definicję zbioru B’ spełnia każdy element zbioru potęgowego P(ℕ), czyli dowolny podzbiór ℕ, co wręcz jest już kuriozalne, skoro tę “jednoznaczną definicję zbioru” spełniać może każdy podzbiór.

    Ponieważ nie jest to w oczywisty sposób widoczne – pokażę na dwóch przykładach, że dowolne podzbiory liczb naturalnych ℕ spełniają “definicję zbioru B’ ” w powyższej funkcji stałej f3.

    Weźmy dla przykładu podzbiór {2,3} i sprawdźmy czy ten zbiór będzie dobrze spełniać tę definicję {x∈ℕ:x∈f3(x)}  dla wszystkich liczb naturalnych :

f3(1)=B’={2,3} ∧ 1∉f3(1)⇒1∉B’,

f3(2)=B’={2,3} ∧ 2∈f3(2)⇒2∈B’,

f3(3)=B’={2,3} ∧ 3∈f3(3)⇒3∈B’,

f3(4)=B’={2,3} ∧ 4∉f3(4)⇒4∉B’,

 ……………

f3(n)=B’={2,3} ∧ n∉f3(n)⇒n∉B’  dla n>4,

czyli  ∀n∈ℕ  B’={2,3}

&&&&&&&& a dla innego  podzbioru {1,5,6} powtarzamy sprawdzenie:

f3(1)=B’={1,5,6} ∧ 1∈f3(1)⇒1∈B’,

f3(2)=B’={1,5,6} ∧ 2∉f3(2)⇒2∉B’,

f3(3)=B’={1,5,6} ∧ 3∉f3(3)⇒3∉B’,

f3(4)=B’={1,5,6} ∧ 4∉f3(4)⇒4∉B’

f3(5)=B’={1,5,6} ∧ 5∈f3(5)⇒5∈B’,

f3(6)=B’={1,5,6} ∧ 6∈f3(6)⇒6∈B’,

……………

f3(n)=B’={1,5,6} ∧ n∉f3(n)⇒n∉B’  dla n>6,

       czyli   ∀n∈ℕ B’={1,5,6},

co oczywiście możemy dalej kontynuować dla każdego innego podzbioru …

A zatem uzyskaliśmy ewidentną sprzeczność:

    {2,3}=B’={1,5,6}

 dowodzącą fałszywości założenia, że definicja zbioru B’ jest poprawna

2. (nie wprost):

Z: Załóżmy, że predykat definiuje zbiór B:

                        {n∈ℕ:n∉f(n)}=B

          B jest zbiorem <=> B’jest zbiorem,   gdzie B’=ℕ \ B

Uzupełnienie B’ będzie wtedy zdefiniowane przez:

                      {n∈ℕ:n∈f(n)}=B’  

weźmy f2, która elementom z ℕ przyporządkowuje zbiory z P(ℕ) określone formułą:

      f2: N∋n→{n∈ℕ:Pn(n)}, gdzie Pn– predykat zmiennej n, co możemy uczynić ponieważ jest to zgodne z aksjomatem podzbioru i taką właśnie formułą można definiować podzbiory.

wtedy:

Istnieje k należące do  takie, że Pn(n)≡n∈f2(n)  i:

                f2(k)={n∈N:n∈f2(n)} 

Zauważmy, że:

k∉B’∋k

co oznacza, że formułę definiującą B’ mogą spełniać dwa różne zbiory: jeden zawierający indeks k i drugi niezawierający tego indeksu. Bo jeśli pozostałe elementy tego zbioru dla n≠k oznaczymy literami b1, b2, b3, b4,… to:

k∉{b1, b2, b3, b4,…}=B’={k, b1, b2, b3, b4,…}∋k

Zaś sama sprzeczność : k∉B’∋k

dowodzi fałszywości założenia. 

     3. (nie wprost):

Z: Jeśli definicja zbioru B jest poprawna,

to można stworzyć funkcję:

f1(1)=Bf1(n)={n} dla n>1

i spytać wprost: z jakich elementów składa się zbiór B ?

   co łatwo można wyznaczyć: 

    ∀ n>1 => n∈f1(n) => n∉B 

a dla n=1:

  –  1∈f1(1) => 1∉B => 1∉f1(1), co jest sprzeczne z założeniem tego ciągu implikacji

  –  1∉f1(1) => 1∈B => 1∈f1(1), co jest sprzeczne z założeniem tego ciągu implikacji

Z czego wnioskujemy, że definicja zbioru B dla tak prosto określonej funkcji nie jest sprecyzowana, skoro nie potrafimy określić, czy element (1) należy do tego zbioru czy nie należy. Gdyby definicja zbioru B nie była autoreferencyjna, bo dla przykładu definiowałaby zbiór liczb parzystych, to nie doszłoby do żadnej sprzeczności.

Share this post

Share on facebook
Share on google
Share on twitter
Share on linkedin
Share on pinterest
Share on print
Share on email