Metoda diagonalna Cantora oraz wszelkie jej modyfikacje wykorzystywane przez specjalistów od Teorii Mnogości w celu wykazania istnienia zbiorów o liczebności większej niż liczebność zbioru ℕ – zbioru liczb naturalnych, przedstawiona przy pomocy metajęzyka, sama w sobie nie jest autoreferencyjna – pod warunkiem, że owa formuła jest izolowana i nic nie ma poza nią samą. Powinna za to generować szukane obiekty (liczby rzeczywiste, podzbiory) w połączeniu z drugą, niezbędną wręcz częścią, jaką powinien być dowolny ciąg danego rodzaju.
Oczywiście konstrukcja ciągu w żaden sposób nie może być ograniczana, zaś algorytm przekątniowy Cantora zawsze powinien prawidłowo tworzyć obiekt niezawarty w ciągu. Jeśli narzucimy ograniczenia na metody konstrukcyjne ciągu – to tym samym przyznamy, że mogą istnieć takie ciągi, do których nie można zastosować tej formuły i wniosek o egzystencji zbiorów o większej mocy (liczebności) niż moc zbioru liczb naturalnych jest błędny.
Pewno większość z nas była, na początku poznawania liczebności zbiorów nieskończonych, zdziwiona równolicznością zbioru liczb naturalnych i zbioru liczb parzystych, czy ułamków. Wszak jeden zbiór zawierał się drugim, a różnica np Q\ℕ nadal pozostawała olbrzymia. Dopiero jak zostanie przedstawiony sposób wzajemnego przyporządkowania staje się to zrozumiałe. Ale jednocześnie pokazuje, że trzeba zachować ostrożność w ferowaniu wyroków o większości dopóki nie znajdziemy odpowiedniego sposobu dobierania elementów z porównywanych nieskończonych zbiorów.
Z powodu trudności z zapisem liczb rzeczywistych, w porównaniu z zapisem liczb wymiernych, do zapisu których wystarczała skończona ilość cyfr oraz kreska ułamkowa, a także trudnością ich porównywania, określania ich miejsca na osi liczbowej i do zapisania których niezbędne stało się użycie dodatkowych znaków metajęzyka, często i tak z koniecznością używania ich nieskończonej ilości, wszak liczby niewymierne często są definiowane sumą nieskończonego szeregu – no więc z powodu tych trudności dość logiczne stało się użycie nieskończonego ciągu cyfr (wraz z separatorem oddzielającym części całkowite od ułamkowych) do ich określania. To pozwoliło Cantorowi analizować hipotetyczne dla niego ciągi i doprowadziło do opracowania metody diagonalnej. Wnioskiem z tych rozważań było to, że nie można ustawić w ciąg wszystkich liczb rzeczywistych przedstawionych w postaci ciągu nieskończonych rozwinięć cyfrowych tych liczb, bo wtedy, dzięki metodzie przekątniowej można zawsze zbudować inną liczbę rzeczywistą nie zawartą w tym ciągu.
Tylko, że tak naprawdę po pierwsze: tą metodą nie można rzetelnie przedstawić nawet jednej liczby, bo prezentowany ciąg nieskończony cyfr musi być prezentowany (przez tworzącego ciąg) w trybie streamingowym i podobnie powinien następować odczyt tych cyfr bez możliwości przejścia do prezentacji następnych liczb, a po drugie, i chyba ważniejsze: wszyscy przecież w celu prezentacji liczb niewymiernych posługujemy się metajęzykiem, więc do ustawienia w ciąg tych liczb (a także wszystkich liczb rzeczywistych) możemy użyć właśnie tekstów prezentujących liczby do ich ustawienia w ciąg wykorzystując długość skończonego łańcucha znaków oraz kolejność leksykograficzną. Korzystamy tu z TB-Bijekcji Tysięcznej ustanawiającej zależność między liczbami naturalnymi a wszystkimi tekstami i posiłkujemy się tabelą podstawień TB
Oczywistym staje się problem odpowiedniej selekcji tekstów, bo większość tekstów będzie bezsensownych lub błędnych.
Wracając jednak do metody przekątniowej.
Jak przedstawiał to Cantor: dajcie mi konkretny ciąg liczb rzeczywistych, a ja stosując metodę przekątniową skonstruuję nową liczbę niezawartą w tym ciągu. W jaki sposób? Liczby z waszego ciągu przedstawię w postaci nieskończonych łańcuchów cyfr rozwinięcia dziesiętnego zachowując takie samo miejsce na liście, jak na waszej liście i stosując algorytm przekątniowy zastosowany do rozwinięć cyfrowych waszych liczb utworzę w postaci nieskończonego łańcucha cyfr nową liczbę rzeczywistą, której na waszej liście nie mogło być. Tylko skąd pewność, że taka transformacja jest zawsze możliwa? I, że wygenerowana zostanie na pewno nowa liczba rzeczywista? Wygląda to na “oczywistą oczywistość” – ale metoda przekątniowa nie uwzględnia tego, że nasz ciąg może zawierać także definicje liczb rzeczywistych łączących metodę przekątniową z naszym ciągiem.
Taki ciąg f określimy przy pomocy powszechnie stosowanego metajęzyka następująco:
f: teksty definiujące liczby rzeczywiste uporządkowane według wzrastającej ilości znaków oraz leksykograficznie, użytych do ich zdefiniowania.
Tekst definiujący ten ciąg jest tekstem skończonym, podobnie skończony jest tekst, dzięki któremu Cantor chciał wygenerować nową liczbę rzeczywistą, a zatem ich połączenie, stanowiące również skończony tekst powinno utworzyć definicję pewnej, bardzo konkretnej, liczby rzeczywistej i jako taki kandydować do umieszczenia w ciągu f. Oczywiście przed umieszczeniem tych połączonych tekstów w tworzonym ciągu musimy najpierw sprawdzić, czy rzeczywiście to połączenie dobrze określa liczbę rzeczywistą.
I tu dochodząc do cyfry będącej na takim samym miejscu w rozważanej liczbie, jakim jest indeks tej liczby w ciągu, okazuje się, że przepis nie wyznacza tam żadnej konkretnej cyfry, a nawet ściślej mówiąc: nie można na tym miejscu wstawić żadnej cyfry! A zatem tekst nie generuje liczby. Na to samo miejsce w ciągu wstawiona zostanie inna liczba definiowana innym tekstem. Czyli ciąg definiujący liczby rzeczywiste można utworzyć i co więcej do tego ciągu nie będzie można zastosować później, po jego utworzeniu, metody przekątniowej Cantora ponieważ tekst mający definiować nową liczbę rzeczywistą był już przecież analizowany i odrzucony! Odrzucony, jako wadliwy!
Co tu jest przyczyną wadliwości metody przekątniowej? Przecież gdyby ją zastosować do ciągu liczb wymiernych to wygeneruje nową liczbę! Oczywiście niewymierną, no i oczywiście niezawartą w ciągu liczb wymiernych…
Wadliwość tej metody będzie się pojawiać, gdy analizowany będzie ciąg dopuszczający stosowanie metajęzyka do definiowania liczb rzeczywistych. A to właśnie, w domyślnym założeniu, nie było brane przez Cantora pod uwagę.
Sam tekst metody przekątniowej Cantora nie jest autoreferencyjny, ale ponieważ dopuszcza, a wręcz żąda podanie ciągu liczbowego w celu utworzenia liczby i na ten ciąg nie nakładane są ograniczenia dotyczące sposobu selekcji, więc potencjalnie może stać się tekstem autoreferencyjnym w połączeniu z tekstem generujacym ciąg liczbowy wykorzystującym metajęzyk. Czyli język, którym wszyscy posługujemy się codziennie,
Odpowiedź na pytanie tytułowe tego bloga brzmi:
Metoda diagonalna Cantora nie jest samowystarczalnym, uniwersalnym sposobem generowania nowych obiektów, żąda dołączenia drugiego członu, jakim jest lista podobnych obiektów do tworzonego, a w niektórych przypadkach może wykazywać wadliwość poprzez samoodnoszenie (autoreferencję).
p.s. Wyżej opisane wnioski wraz z procedurą konstruktywnego generowania ciągów: liczb rzeczywistych, podzbiorów i przedziałów liczbowych opisane są w INFINITY: END of ALEPH ONE i stanowią podstawę do odrzucenia błędnej koncepcji Cantora o istnieniu zbiorów nieprzeliczalnych. Tam też, ufundowałem nawet nagrodę 1000USD, dla osoby która pierwsza poda (znajdzie) taką liczbę rzeczywistą (lub jej definicję = sposób generowania jej cyfr – co jest nawet właściwsze, bo na podanie jej wszystkich cyfr sposobem Cantora musielibyśmy czekać wieczność całą), której nie ma w definiowanym przeze mnie ciągu!
I would like to thank you for the efforts youve put in writing this blog. I really hope to see the same high-grade blog posts from you in the future as well. In fact, your creative writing abilities has encouraged me to get my own website now 😉